Einführung 15
Zu diesem Buch 15
Konventionen in diesem Buch 16
Was Sie nicht lesen müssen 16
Törichte Annahmen über den Leser 16
Wie dieses Buch aufgebaut ist 16
Teil I: Grundlagen der linearen Algebra 17
Teil II: Landschaftserkundung zur linearen Algebra 17
Teil III: Lineare Algebra for Runaway Dummies 18
Teil IV: Top Ten Teil 18
Symbole in diesem Buch 18
Wie es weitergeht 19
Teil I Grundlagen der Algebra 21
Kapitel 1 Die bunte Welt der linearen Algebra 23
Dafür braucht man lineare Algebra 24
Systeme von Gleichungen lösen 25
Geometrische Rätsel knacken 26
Die Bausteine der linearen Algebra erkennen 28
Körper und Vektorräume 28
Sinnvolle Verknüpfungen von Vektoren 28
Die Werte in Reih und Glied bringen 29
Matrizen und ihre Verknüpfungen 32
Determinanten 34
Alles in einen linearen Zusammenhang bringen 35
Lineare Abbildungen 35
Kapitel 2 Körper und andere Welten 39
Verkündigung der Körpergesetze 39
Der Begriff des »Körpers« 39
Das Assoziativgesetz 41
Das Kommutativgesetz 45
Das neutrale Element 48
Inverse Elemente 49
Das Distributivgesetz 51
Die Algebraische Struktur der Körper 52
Endlich unendliche Körper 54
Der kleinste Körper 54
Die klassischen Zahlkörper 56
Na so was: die Restklassenkörper 57
Kapitel 3 Wen Amors Vektor trifft 61
Woher die Vektoren kommen 61
Erweitern Sie Ihren Horizont um n Dimensionen 62
Grundlegende Vektoroperationen 64
Addition und Subtraktion von Vektoren 65
Skalare Multiplikation von Vektoren 67
Das Skalarprodukt von Vektoren 68
Die Norm eines Vektors 70
Das Vektorprodukt 73
Der Winkel zwischen Vektoren 74
Diese Vektoren sind nicht normal 77
Jetzt wird es eng: der n-Raum 78
Der Euklidische n-Raum 79
Der komplexe n-Raum 81
Warum das alles kein Unsinn ist 82
Die größten Irrtümer der Naturwissenschaften 82
Arbeit und Kraft 83
Das Drehmoment 84
Tricks mit Vektoren 86
Der Kosinussatz 86
Teil II Landschaftserkundung zur linearen Algebra 89
Kapitel 4 Vektorräume mit Aussicht 91
Räume voller Vektoren 91
Vektorraumoperationen 92
Addition von Vektoren 93
Skalare Multiplikation 93
Vektorraumeigenschaften 95
Massenhaft Beispiele für Vektorräume 96
Vektorräume aus n-Tupeln 96
Vektorräume aus Polynomen 97
Vektorräume aus Matrizen 99
Vektorräume von Folgen und Funktionen 100
Vektorräume aus linearen Abbildungen 102
Vektorräume aus Körpern 103
Unterräume aber nicht im Kellergeschoss 104
Die formale Spezifikation der Unterräume 104
Eine Abkürzung zu den Unterräumen 106
Aufräumen in den Unterräumen 107
Summen von Unterräumen 111
Direkte Summen von Unterräumen 113
Kapitel 5 LGS Auf lineare Steine können Sie bauen 117
Wie lineare Gleichungssysteme entstehen 117
Darstellungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme 121
Die Quadratische Form 122
Die Stufenform 124
Die Idealform 125
Prinzipielle Lösungsmengen von LGSen 127
Eindeutige Lösung 128
Freie Parameter in der Lösung 128
Keine Lösungen 131
Das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung von LGSen 131
Carl Friedrich Gauß 132
Der Gauß-Jordan-Algorithmus 136
Lösung eines LGS über die erweiterte Koeffizientenmatrix 138
So geht es auch: LR-Zerlegung nach Gauß 140
Determinanten zur Bestimmung von Lösungen 143
Lösung â la Cramer& Cramer 144
Inverse Matrizen zur Lösung einer Matrizengleichung 145
Parametrisierte LGS 146
Kapitel 6 Die Matrix ist überall 155
Wie eine Matrix das Leben erleichtert 155
Lineare Gleichungssysteme als Matrizen darstellen 156
Grundlegende Matrixoperationen 158
Addition von Matrizen 158
Skalare Multiplikation von Matrizen 159
Matrix-Vektorprodukt 161
Matrixmultiplikation 162
Transposition von Matrizen 165
Der Rang einer Matrix 166
Attribute von Matrizen 168
Quadratische Matrizen 168
Reguläre Matrizen 170
Idempotente Matrizen 171
Diagonalmatrizen 172
Adjungierte von Matrizen bestimmen 173
Komplementäre Matrizen erzeugen 174
Matrizen invertieren 176
Mittels Determinanten und Adjunkten 177
Mittels Gauß-Jordan-Algorithmus 177
Der Matrix auf der Spur 179
Teil III Lineare Algebra for Runaway Dummies 181
Kapitel 7 Die lineare Unabhängigkeitserklärung 183
Wir kombinieren linear 183
Warum unabhängig besser ist als abhängig 185
Bestimmung der linearen Unabhängigkeit 186
Bei n-Tupel-Vektoren 187
Bei Polynomen 190
Bei Matrizen 191
Im Allgemeinen 194
Fallstricke der linearen Unabhängigkeit 198
Kapitel 8 Basen, keine lästige Verwandtschaft 201
Auf dieser Basis beruht unsere Arbeit 201
Erzeugende Systeme 206
Lineare Hüllen als Unterräume 207
Lineare Unabhängigkeit von Basisvektoren 209
Erzeugte Unterräume 210
Matrizen und Basen: So geht das! 214
Dimensionen und Basisvektoren 215
Jetzt haben Sie endlich die Koordinaten 216
Basen für Orthonormal-Verbraucher 217
Kapitel 9 Ganz bestimmte Determinanten 219
Warum Determinanten wichtig sind 219
Was Permutationen mit Determinanten zu tun haben 221
Berechnung von Determinanten 222
Determinanten von 2×2-Matrizen 222
Determinanten mit der Regel von Sarrus berechnen 224
Berechnung von Determinanten im Allgemeinen 227
Rechenregeln für Determinanten 228
Wie sich die Transpositionen auf Determinanten auswirken 229
Diagonalmatrizen sind die besten Freunde von Determinanten 229
Die Determinate der Einheitsmatrix 230
Skalare Multiplikation und Determinanten 230
Determinanten und der Zeilentausch/Spaltentausch 231
Leibniz trifft auf Gauß 232
Determinantenberechnung für Dreiecksmatrizen 233
Zusammenhang zwischen Determinante und Invertierbarkeit einer Matrix 233
Unterdeterminanten 234
Rekursion 234
Der Entwicklungssatz 236
Teil IV Top Ten Teil 239
Kapitel 10 Lineare Algebra in zehn Minuten 241
Linearität verstehen und keine Angst vor Algebra haben 241
Den Körper als Freund betrachten 241
Mit diesen Vektoren können Sie rechnen 241
Räume voller Vektoren 242
Gleichungssysteme mit geometrischen Objekten identifizieren 242
LGSe mit unterschiedlichen Methoden lösen 242
Keiner entkommt der Matrix 242
Noch unabhängiger als die Schweiz 243
Neues Verständnis von Koordinaten 243
Determinanten sind das Herz einer Matrix 243
Stichwortverzeichnis 245
